阿魔密码：魔术般de数学难题
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"5">阿魔密码：魔术般de数学难题
■文/阿魔
这些是上中学时，我参加数学奥林匹克竞赛时出给对手的
"http://blog.sina.com.cn/main/html/showpic.html#url=http://s11.album.sina.com.cn/pic/562621d0020008uy"
target="_blank">
"http://blog.sina.com.cn/main/html/showpic.html#url=http://s11.album.sina.com.cn/pic/562621d0020008uy"
target="_blank">
"http://blog.sina.com.cn/main/html/showpic.html#url=http://s11.album.sina.com.cn/pic/562621d0020008uy"
target="_blank">
"http://www.ultrasmedia.com/50226711/images/47a98b7286060a34c172d50cc055e08a.GIF" border=
"0" />，几十年了，包括某些自负的教授在内，一直没有人做出正确的答案。真有独孤求败的感觉呀
"http://blog.sina.com.cn/main/html/showpic.html#url=http://s8.album.sina.com.cn/pic/562621d0020008v7"
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"http://www.ultrasmedia.com/50226711/images/952a5ec1cc1b0c1400bac6be3962ac6e.GIF" border=
"0" />！
"http://blog.sina.com.cn/main/html/showpic.html#url=http://s7.album.sina.com.cn/pic/562621d0020008v6"
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"http://blog.sina.com.cn/main/html/showpic.html#url=http://s12.album.sina.com.cn/pic/562621d0020008uz"
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今天我把这其中的两道题发布在这里，想看看天下的高手的妙算……呵呵
"http://blog.sina.com.cn/main/html/showpic.html#url=http://s12.album.sina.com.cn/pic/562621d0020008uz"
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"0" />
"http://blog.sina.com.cn/main/html/showpic.html#url=http://s8.album.sina.com.cn/pic/562621d0020008vj"
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"http://www.ultrasmedia.com/50226711/images/2ad5629b3bbcd71383f3beeaf86cf4f8.GIF" border=
"0" />第一题：阿魔的密码数列
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[匿名] 法案
(09/20/06 5:14pm)
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[匿名] 楚楚
(09/20/06 11:00pm)
[匿名] 楚楚
还没开始仔细读就开始傻笑，不是因数学题，而是阿魔的“特别声明”太好笑了。不过，正如声明中所说，阿魔不用对我这一不良后果负责。
回应:
[匿名] Lagrange
(09/21/06 1:45am)
[匿名] Lagrange
您老代数的概念不是很精通呀， 再加把劲巩固基础理论吧。
根据拉格朗日的插值公式， 你的有限项的数列，可以给出无穷多个通项公式来（N次多项式， N大于已知的有限项的数目，每个这样的N都可以有无穷多个这种多项式，就看你任意补充一些项凑足N+1个项就可以得出N次多项式）
回应:
粉色桔子
(09/21/06 2:45am)
粉色桔子
因为数学不好所以考研避开数学方面的
几何题比较好玩一些～～
回应:
[匿名] tellov
(09/21/06 4:27am)
[匿名] tellov
有规则的,不过如果用程序来写,非常的简单!
规律如下:
1 6 2 7 3 8 4 9 14
10 15 11 16 12 17 13 18 23
19 24 20 25 21 36 22 37 32
回应:
[匿名] 无穷数列
(09/21/06 4:49am)
[匿名] 无穷数列
假设就是这么9个数字不断循环：
４、８、３、７、２、６、１、５、９
用n对9取模做通项公式不是很难, 按照拉格朗日插值方式把这9个值放进去就行了。最后得出的是一个8次多项式。
不过前面有人已经说过了，实际上存在无穷多个通项公式满足给出的有限多个项的数列。
回应:
[匿名] 海子
(09/21/06 5:47am)
[匿名] 海子
Lagrange，说可以给出无穷多个通项公式来
你知道什么叫通项公式吗?你哪个学校的?
回应:
王鹏越
(09/21/06 5:55am)
王鹏越
大家不要吵,我的地盘,呵呵,我有唯一解释权,不许用取整函数,当然也不许用拉格朗日插值方式,另外不许相互攻击,只许就数学本身探讨!
回应:
[匿名] M
(09/21/06 8:19am)
[匿名] M
有意思，在“无穷数列”的启发下，
我发现楼主的数列是13的倍数对9取模的值，而当模为0时给出9就可以了。这样通项公式很简单了：
y = x mod 9;
if (0 == y)
{
y = 9;
}
回应:
[匿名] M
(09/21/06 8:30am)
[匿名] M
若对判断不太接受（其实通项公式中是可以有判断条件的），
则用一点儿小技巧可以给出“优雅”一些的：
y = (x mod 9) + 9 x (1 - ( (x mod 9)/2 + 1/2 - abs(x mod 9 - 1)/2 )
后面9乘的括号里面被1减去的东西，就是用绝对值函数起到取最小值的作用，取1和x mod 9的最小值，这样除了x mod 9为0，该值都为1，再被1减而反相，后面的那个项就在x mod 9为0时给出9，为其他值时给出0。
Bingo!
回应:
[匿名] M
(09/21/06 8:33am)
[匿名] M
纠正一些笔误，以及用*代替x以免和变量x混淆：
y = (x mod 9) + 9 * (1 - ( (x mod 9)/2 + 1/2 - abs(x mod 9 - 1)/2 ) )
回应:
[匿名] M
(09/21/06 8:39am)
[匿名] M
对了，前面有人说的拉格朗日方法，没有错，在只枚举给出有限项的情况下，确实可以用该方法给出无穷多个公式，在前面的那有限多个项都和原来的那些项完全相同，但是后面的就各不想干了。只是用这种方法来对付其目的是让解题者“发现”规律的题目，就属于钻牛角尖，让这类题目流于无聊了，所以一般都不算的。
回应:
[匿名] 火凤凰菩
(09/21/06 10:22am)
[匿名] 火凤凰菩
其实规律非常简单，以７，８，３，７，开头，每隔一个数字，往下面降一个，当数字降到１之后又从９再往下每隔一个数字降一个．
哪有你们所说的什么拉格朗日那么复杂呀．小学生都可以做的．
回应:
[匿名] 火凤凰菩
(09/21/06 10:24am)
[匿名] 火凤凰菩
刚刚上面有个打错了，是４，８，３，７这样，后面就从第一个开始往下面每隔一个往下降就是了．
你从４开始数，每隔一个就是４３２１．．．１过后下一个就是９８７６这样的规律，非常简单．
回应:
[匿名] 长沙
(09/21/06 3:11pm)
[匿名] 长沙
M的公式貌似有点问题,不用这样复杂,呵呵
回应:
[匿名] M
(09/22/06 1:30am)
[匿名] M
嗯，如果让我把mod重新定义一下，不取0，而是从1到被除数，那后面就不用那个项了，就是 y = (x * 13 )mod 9， 啊，前面的公式还是给错了，忘了把 13 这个因子乘在x里面，呵呵。
按照公认的mod，修正如下：
f(n) = (n * 13) mod 9 + 9 * (1 - ( ((n * 13) mod 9)/2 + 1/2 - abs((n * 13) mod 9 - 1)/2 ) )
回应:
[匿名] M
(09/22/06 1:32am)
[匿名] M
怎么没人关心植树的事情呀， :)
回应:
断弦的耳朵
(09/22/06 3:47am)
断弦的耳朵
彻底晕了！！！数学对我来说，就一个字：难！
回应:
[匿名] 燕子
(09/22/06 4:09am)
[匿名] 燕子
看到你出的题,真的头大.倒是你前边的博文非常喜欢.更喜欢关于博克的八荣八耻.因为我的文字被别人一字不漏的转,很无奈.
回应:
解药
(09/23/06 7:45am)
解药
唉,参加奥数,十道题我只能答两道,还不知道对不对,笨呀
回应:
放飞明天寻回旧梦
(09/23/06 12:36pm)
放飞明天寻回旧梦
有人呲牙咧嘴,真开心! 哈哈哈
回应:
[匿名] 楚楚
(09/26/06 9:33am)
[匿名] 楚楚
自信心已经被严重挫伤了！
楼上的明天，看你幸灾乐祸的样子，不象你的风格啊，我还以为是嘻嘻呢！^_^
阿魔已经好几天没更新了，是不是我们答不上来，你就不更新了？
千万别！^_^
回应:
[匿名] Lagrange
(09/26/06 2:44pm)
[匿名] Lagrange
嗯，
F(n) = 13n mod 9 + 9 * (1 - min(1, 13n mod 9))
这个公式比较精炼，比插值多项式凑出来的好看多了， :)。
植树够挠头的， 每棵树平均要被6行穿越，凑了好半天还没凑够，慢慢想想，估计是个长征类型的题目，不知道结果的图案是不是足够精美。。。
回应:
[匿名] 阿魔
(09/26/06 11:26pm)
[匿名] 阿魔
这几天因为家母要做手术，一直没上网，希望大家谅解。
大家的探讨很有意思，就我自己而言，第一题有两种最简单的答案，lagrange与M的探讨接近第一种答案（lagrange不要骂我太苛刻呀……）
第一题的第2种答案，23年中一直没有人能做出来，是最简单的一种答案，我说“包括某些自负的教授在内，一直没有人做出正确的答案。”这句话有误，向大家道歉，应该是“没有最佳的答案”。
这次我将这些题拿来给大家其实就是想看看有没有更好的答案，或新的方法。
如果某中简单而巧妙的方法一直没有人能做出来，我将不公布最佳答案，直到有人能做出来，但愿不要让我等得太久55555
回应:
王鹏越
(09/26/06 11:34pm)
王鹏越
因为是我出的题，呵呵，我当然是在知道结果的情况下出的题面，楚楚不要生气呀，呵呵，数学的事情一般都是男人的事情呀，Lagrange一定是男生吧^_^
第2题，目前我自己也只有一种答案，强烈期待新的答案。
回应:
[匿名] M
(09/27/06 2:35am)
[匿名] M
祝博主妈妈早日康复！
哎，因为发现了13，规律已经足够简单了，只是那个取模后来还有判断凑一个9出来的表示干扰了主题。今天再考虑一下，把每个数字都减去1，这样就不用凑那个9了，只要最后再加上1就行了。循环变成了3，7，2，6，1，5，0，4，8，对于这个循环，相应的质数我找到了，是31，这下子通项公式进一步简化了：
f(n) = 31 * (n + 2) mod 9 + 1
回应:
[匿名] Lagrange
(09/27/06 4:12am)
[匿名] Lagrange
Wu， 祝令堂早日康复！
嗯，果然这样更简单了，呵呵。
若继续寻找更简单的公式，还要进一步观察，
4，8, 3, 7, 2, 6, 1, 5, 9, 4, 8, 3, 7, 2, 6, 1..
看起来是两个9,8,7,6,5,4,3,2,1这样的循环错开编织在一起的。
照这个基本思路，通项公式可如下表达：
若n为奇数， F(n) = 9 - ((n+1)/2 + 13) mod 9
若n为偶数， F(n) = 9 - (n/2 + 9) mod 9
应该还可以化简得出更加清晰明白的公式来。
慢着，用减法的话，M开拓的东西我找到另外一种表达，看起来比M的再清晰一点点，呵呵：
F(n) = 9 - 5n mod 9
哈哈，奥妙无穷呀。
回应:
王鹏越
(09/27/06 7:09am)
王鹏越
恭喜Lagrange,这个答案是最简单的两个之一.
一开始我还以为Lagrange和M是一个人,呵呵,
问题的关键是Lagrange想到了用9减去5n mod 9,别小看这个,大多数人都只在An mod 9上做文章.
M说的3，7，2，6，1，5，0，4，8，如写成0，4，8，3，7，2，6，1，5，0，4，8，就不是我的这道题了，这样就可以写做F(n) = 4n mod 9
提醒一下，第一题的另外的解法是没有取模的，完全是另外的一套思路，呵呵，当你真的可以想出来的时候，你一定会欢呼的！
如果一直没有人给出答案，我将永远不公布！呵呵呵^_^
回应:
[匿名] M
(09/27/06 9:41am)
[匿名] M
哎，我悔的肠子都青了， :(。
不过我那个公式也是对的，只是我倾心于质数，没有看到就在眼前的进一步简化可能，比如把31中的9的倍数都去掉，就得到：
f(n) = 4(n+2) mod 9 + 1
不过字面上看来，还是比 9 - 5n mod 9 略逊一筹。
期待其他思路给出手筋。。。
回应:
[匿名] 明天
(09/27/06 10:30am)
[匿名] 明天
还在解难题呀?阿魔
回应:
[匿名] 楚楚
(09/27/06 11:53am)
[匿名] 楚楚
Lagrange和 M，你们能公开一下性别吗？
阿魔说，数学是男人的事，我多么希望你们中有一个是女人啊！
擅长做数学题的女生不是没有，是她们正致力于深奥的科学研究，没空上网而已。
对吗？阿魔^_^
回应:
[匿名] 阿魔
(09/27/06 12:08pm)
[匿名] 阿魔
我估计Lagrange和M都是男生,并且Lagrange和M可能都是程序员,我的首页上有我的Gtalk和MSN,希望Lagrange和M和我联络,呵呵(有奖品)
回应:
[匿名] 大山
(09/27/06 10:23pm)
[匿名] 大山
呵呵，阿魔越来越自恋了。哈哈。
回应:
[匿名] 嘻嘻
(09/27/06 10:42pm)
[匿名] 嘻嘻
天啦，原来有奖品，怎么不早说！
嘻嘻，早说我也不做……@！@
回应:
[匿名] 阿魔
(09/27/06 11:43pm)
[匿名] 阿魔
大山你好犀利呀,不过"自恋"似乎现代人的"通病"或"美德",我看,上blog的大多也如此吧,呵呵
嘻嘻说"原来有奖品，怎么不早说！"呵呵,以后有奖品的都不早说,哈哈哈,昨天楚楚说很喜欢你,哈哈,你要小心了^_^
回应:
[匿名] 阿魔
(09/28/06 2:12am)
[匿名] 阿魔
M做的f(n) = 4(n+2) mod 9 + 1 也是很不错的,希望大家做另外的不用取余数的作法,当然不能用取整函数,呵呵
另外,第2题大家做的如何了,呵呵^_^,
可以把答案作成图形发给我,上面我加了我的mail,
为了防止小广告,我用的是图形,呵呵、呵呵
回应:
[匿名] M
(09/28/06 2:12am)
[匿名] M
楚楚：抱歉！
找到一种投机取巧的通项公式：
f(n) = 53747351/111111111 的小数点后第n位数字！
回应:
刘咏阁（老墨）
(09/28/06 11:55am)
刘咏阁（老墨）
别难为我好吗,晕！一看数字就晕！
回应:
[匿名] Lagrange
(09/29/06 3:06am)
[匿名] Lagrange
4n 的10进制表示的各位数字相加，也能得到这个魔术数列，还在验证/证明中。。。
回应:
[匿名] Lagrange
(09/29/06 3:12am)
[匿名] Lagrange
如果加出来是2位数字，就继续加
4n 的序列：
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 。。。
各位数字相加，若结果是2为数字，继续相加，所得序列：
4 8 3 7 2 6 1 5 9 4 8 3 7 。。。
需要证明出结论， 忙， 以后做， 呵呵， 估计是正确的， :)。
回应:
[匿名] Lagrange
(09/29/06 7:16am)
[匿名] Lagrange
呵呵， 把10进制数的全部数字加起来，结果多于1位继续重复这个动作，是把该数字对9取余数的一个变种，不同点是只要是大于0的数字，结果的范围在1~9之间，而不是取余数的0~8。
回应:
[匿名] 阿魔
(09/29/06 7:37am)
[匿名] 阿魔
再次，恭喜Lagrange，这次的就是最简单的另外一种答案，真没想到真的有人做出来了，我太高兴了，应该干杯！^_^
回应:
[匿名] Lagrange
(09/30/06 9:28am)
[匿名] Lagrange
种树有些眉目了， 手工画图好乱呀， 明天看看能不能用程序辅助画出来， 不过似乎能搞出53行来，明天仔细校验一下看看。。。
回应:
[匿名] 楚楚
(09/30/06 11:52am)
[匿名] 楚楚
TO: Lagrange:
关于种树，我曾经搞出不止53行，还有更多，好象是25的三倍，经校验发现错了。
呵呵，估计你的也不会对。正确的答案应正好是53行才行。
自信心不会因此而挫伤吧？^_^
回应:
[匿名] Lagrange
(09/30/06 12:34pm)
[匿名] Lagrange
To: 楚楚
之前我做过一个六边形的叠套图，但后来经过证明发现有些边不会严格交于一点（手工作图不精确）。
现在我的种法中有42行是毫不含糊的每行3棵，可以严格证明没有问题，：）。另外11行略有些疑问，因为它是整体上很长的3行（每行中的总棵数不止3棵），我算它是若干个3棵的行首尾串联（相互在边上不重叠）而成。
明天用程序把图画出来。
不会挫伤的， 解出来开心， 解不出来是正常， :)。
抱歉，我也是男生。
回应:
[匿名] Lagrange
(09/30/06 12:54pm)
[匿名] Lagrange
嗯，编了一段程序，发现手工画的图中还有一些行以前没发现呢，现在严格的3棵行共有47行， 那种首尾相接的3棵行仍然是11行。
回应:
[匿名] Lagrange
(09/30/06 1:21pm)
[匿名] Lagrange
程序画好了图，发给阿魔检查了。
楚楚要验证的话，可发邮件给我，我回复给你图案。信箱地址是pegasusplus在google那个免费邮箱。（防机器人轰炸就不用文本给出直接的邮箱地址啦）
回应:
[匿名] 楚楚
(09/30/06 2:51pm)
[匿名] 楚楚
根据Lagrange所说，每行三棵，一共有58行了？
我做过两次，发现超出50行，就放弃了，感觉应该正好是50行才对。
不会电脑作图，用手绘，有时绘着绘着就乱了，只好重来。太痛苦了。
阿魔，暂时别公布答案，这几天太忙，等放假我还想认真做一做。等我，其他博友几天。
Lagrange：暂时别给我发了，我想自己做试试，担心看了你的图受影响。呵呵
回应:
[匿名] Lagrange
(10/01/06 1:28am)
[匿名] Lagrange
多了也不行呀， 还要继续努力， 剔除滥竽充数的行， :)。
若会一点点编程，用微软那个免费下载的那几种开发环境：Visual C# 2005 Express， 或者Visual Basic 2005 Express，还有C++的一个版本，有了思路只要编一点儿程序就可以画出精确的图了。比手工制图的好处是出了错好改，不用作废纸张重新画。
回应:
[匿名] Lagrange
(10/01/06 7:51am)
[匿名] Lagrange
稍调整了一下我的种树方法，现在严格的3棵行已经可以达到52行，还有一种可以到51行。
阿魔是不是一定要求50行，多了不行呀？
target="_blank"> "http://blog.sina.com.cn/main/html/showpic.html#url=http://s11.album.sina.com.cn/pic/562621d0020008uy"
target="_blank"> "http://blog.sina.com.cn/main/html/showpic.html#url=http://s11.album.sina.com.cn/pic/562621d0020008uy"
target="_blank">
"0" />，几十年了，包括某些自负的教授在内，一直没有人做出正确的答案。真有独孤求败的感觉呀 "http://blog.sina.com.cn/main/html/showpic.html#url=http://s8.album.sina.com.cn/pic/562621d0020008v7"
target="_blank">
"0" />！ "http://blog.sina.com.cn/main/html/showpic.html#url=http://s7.album.sina.com.cn/pic/562621d0020008v6"
target="_blank"> "http://blog.sina.com.cn/main/html/showpic.html#url=http://s12.album.sina.com.cn/pic/562621d0020008uz"
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[匿名] 楚楚
还没开始仔细读就开始傻笑，不是因数学题，而是阿魔的“特别声明”太好笑了。不过，正如声明中所说，阿魔不用对我这一不良后果负责。
还没开始仔细读就开始傻笑，不是因数学题，而是阿魔的“特别声明”太好笑了。不过，正如声明中所说，阿魔不用对我这一不良后果负责。
[匿名] Lagrange
您老代数的概念不是很精通呀， 再加把劲巩固基础理论吧。
根据拉格朗日的插值公式， 你的有限项的数列，可以给出无穷多个通项公式来（N次多项式， N大于已知的有限项的数目，每个这样的N都可以有无穷多个这种多项式，就看你任意补充一些项凑足N+1个项就可以得出N次多项式）
您老代数的概念不是很精通呀， 再加把劲巩固基础理论吧。
根据拉格朗日的插值公式， 你的有限项的数列，可以给出无穷多个通项公式来（N次多项式， N大于已知的有限项的数目，每个这样的N都可以有无穷多个这种多项式，就看你任意补充一些项凑足N+1个项就可以得出N次多项式）
粉色桔子
因为数学不好所以考研避开数学方面的
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[匿名] tellov
有规则的,不过如果用程序来写,非常的简单!
规律如下:
1 6 2 7 3 8 4 9 14
10 15 11 16 12 17 13 18 23
19 24 20 25 21 36 22 37 32
有规则的,不过如果用程序来写,非常的简单!
规律如下:
1 6 2 7 3 8 4 9 14
10 15 11 16 12 17 13 18 23
19 24 20 25 21 36 22 37 32
[匿名] 无穷数列
假设就是这么9个数字不断循环：
４、８、３、７、２、６、１、５、９
用n对9取模做通项公式不是很难, 按照拉格朗日插值方式把这9个值放进去就行了。最后得出的是一个8次多项式。
不过前面有人已经说过了，实际上存在无穷多个通项公式满足给出的有限多个项的数列。
假设就是这么9个数字不断循环：
４、８、３、７、２、６、１、５、９
用n对9取模做通项公式不是很难, 按照拉格朗日插值方式把这9个值放进去就行了。最后得出的是一个8次多项式。
不过前面有人已经说过了，实际上存在无穷多个通项公式满足给出的有限多个项的数列。
[匿名] 海子
Lagrange，说可以给出无穷多个通项公式来
你知道什么叫通项公式吗?你哪个学校的?
Lagrange，说可以给出无穷多个通项公式来
你知道什么叫通项公式吗?你哪个学校的?
王鹏越
大家不要吵,我的地盘,呵呵,我有唯一解释权,不许用取整函数,当然也不许用拉格朗日插值方式,另外不许相互攻击,只许就数学本身探讨!
大家不要吵,我的地盘,呵呵,我有唯一解释权,不许用取整函数,当然也不许用拉格朗日插值方式,另外不许相互攻击,只许就数学本身探讨!
[匿名] M
有意思，在“无穷数列”的启发下，
我发现楼主的数列是13的倍数对9取模的值，而当模为0时给出9就可以了。这样通项公式很简单了：
y = x mod 9;
if (0 == y)
{
y = 9;
}
有意思，在“无穷数列”的启发下，
我发现楼主的数列是13的倍数对9取模的值，而当模为0时给出9就可以了。这样通项公式很简单了：
y = x mod 9;
if (0 == y)
{
y = 9;
}
[匿名] M
若对判断不太接受（其实通项公式中是可以有判断条件的），
则用一点儿小技巧可以给出“优雅”一些的：
y = (x mod 9) + 9 x (1 - ( (x mod 9)/2 + 1/2 - abs(x mod 9 - 1)/2 )
后面9乘的括号里面被1减去的东西，就是用绝对值函数起到取最小值的作用，取1和x mod 9的最小值，这样除了x mod 9为0，该值都为1，再被1减而反相，后面的那个项就在x mod 9为0时给出9，为其他值时给出0。
Bingo!
若对判断不太接受（其实通项公式中是可以有判断条件的），
则用一点儿小技巧可以给出“优雅”一些的：
y = (x mod 9) + 9 x (1 - ( (x mod 9)/2 + 1/2 - abs(x mod 9 - 1)/2 )
后面9乘的括号里面被1减去的东西，就是用绝对值函数起到取最小值的作用，取1和x mod 9的最小值，这样除了x mod 9为0，该值都为1，再被1减而反相，后面的那个项就在x mod 9为0时给出9，为其他值时给出0。
Bingo!
[匿名] M
纠正一些笔误，以及用*代替x以免和变量x混淆：
y = (x mod 9) + 9 * (1 - ( (x mod 9)/2 + 1/2 - abs(x mod 9 - 1)/2 ) )
纠正一些笔误，以及用*代替x以免和变量x混淆：
y = (x mod 9) + 9 * (1 - ( (x mod 9)/2 + 1/2 - abs(x mod 9 - 1)/2 ) )
[匿名] M
对了，前面有人说的拉格朗日方法，没有错，在只枚举给出有限项的情况下，确实可以用该方法给出无穷多个公式，在前面的那有限多个项都和原来的那些项完全相同，但是后面的就各不想干了。只是用这种方法来对付其目的是让解题者“发现”规律的题目，就属于钻牛角尖，让这类题目流于无聊了，所以一般都不算的。
对了，前面有人说的拉格朗日方法，没有错，在只枚举给出有限项的情况下，确实可以用该方法给出无穷多个公式，在前面的那有限多个项都和原来的那些项完全相同，但是后面的就各不想干了。只是用这种方法来对付其目的是让解题者“发现”规律的题目，就属于钻牛角尖，让这类题目流于无聊了，所以一般都不算的。
[匿名] 火凤凰菩
其实规律非常简单，以７，８，３，７，开头，每隔一个数字，往下面降一个，当数字降到１之后又从９再往下每隔一个数字降一个．
哪有你们所说的什么拉格朗日那么复杂呀．小学生都可以做的．
其实规律非常简单，以７，８，３，７，开头，每隔一个数字，往下面降一个，当数字降到１之后又从９再往下每隔一个数字降一个．
哪有你们所说的什么拉格朗日那么复杂呀．小学生都可以做的．
[匿名] 火凤凰菩
刚刚上面有个打错了，是４，８，３，７这样，后面就从第一个开始往下面每隔一个往下降就是了．
你从４开始数，每隔一个就是４３２１．．．１过后下一个就是９８７６这样的规律，非常简单．
刚刚上面有个打错了，是４，８，３，７这样，后面就从第一个开始往下面每隔一个往下降就是了．
你从４开始数，每隔一个就是４３２１．．．１过后下一个就是９８７６这样的规律，非常简单．
[匿名] 长沙
M的公式貌似有点问题,不用这样复杂,呵呵
M的公式貌似有点问题,不用这样复杂,呵呵
[匿名] M
嗯，如果让我把mod重新定义一下，不取0，而是从1到被除数，那后面就不用那个项了，就是 y = (x * 13 )mod 9， 啊，前面的公式还是给错了，忘了把 13 这个因子乘在x里面，呵呵。
按照公认的mod，修正如下：
f(n) = (n * 13) mod 9 + 9 * (1 - ( ((n * 13) mod 9)/2 + 1/2 - abs((n * 13) mod 9 - 1)/2 ) )
嗯，如果让我把mod重新定义一下，不取0，而是从1到被除数，那后面就不用那个项了，就是 y = (x * 13 )mod 9， 啊，前面的公式还是给错了，忘了把 13 这个因子乘在x里面，呵呵。
按照公认的mod，修正如下：
f(n) = (n * 13) mod 9 + 9 * (1 - ( ((n * 13) mod 9)/2 + 1/2 - abs((n * 13) mod 9 - 1)/2 ) )
[匿名] M
怎么没人关心植树的事情呀， :)
怎么没人关心植树的事情呀， :)
断弦的耳朵
彻底晕了！！！数学对我来说，就一个字：难！
彻底晕了！！！数学对我来说，就一个字：难！
[匿名] 燕子
看到你出的题,真的头大.倒是你前边的博文非常喜欢.更喜欢关于博克的八荣八耻.因为我的文字被别人一字不漏的转,很无奈.
看到你出的题,真的头大.倒是你前边的博文非常喜欢.更喜欢关于博克的八荣八耻.因为我的文字被别人一字不漏的转,很无奈.
解药
唉,参加奥数,十道题我只能答两道,还不知道对不对,笨呀
唉,参加奥数,十道题我只能答两道,还不知道对不对,笨呀
放飞明天寻回旧梦
有人呲牙咧嘴,真开心! 哈哈哈
有人呲牙咧嘴,真开心! 哈哈哈
[匿名] 楚楚
自信心已经被严重挫伤了！
楼上的明天，看你幸灾乐祸的样子，不象你的风格啊，我还以为是嘻嘻呢！^_^
阿魔已经好几天没更新了，是不是我们答不上来，你就不更新了？
千万别！^_^
自信心已经被严重挫伤了！
楼上的明天，看你幸灾乐祸的样子，不象你的风格啊，我还以为是嘻嘻呢！^_^
阿魔已经好几天没更新了，是不是我们答不上来，你就不更新了？
千万别！^_^
[匿名] Lagrange
嗯，
F(n) = 13n mod 9 + 9 * (1 - min(1, 13n mod 9))
这个公式比较精炼，比插值多项式凑出来的好看多了， :)。
植树够挠头的， 每棵树平均要被6行穿越，凑了好半天还没凑够，慢慢想想，估计是个长征类型的题目，不知道结果的图案是不是足够精美。。。
嗯，
F(n) = 13n mod 9 + 9 * (1 - min(1, 13n mod 9))
这个公式比较精炼，比插值多项式凑出来的好看多了， :)。
植树够挠头的， 每棵树平均要被6行穿越，凑了好半天还没凑够，慢慢想想，估计是个长征类型的题目，不知道结果的图案是不是足够精美。。。
[匿名] 阿魔
这几天因为家母要做手术，一直没上网，希望大家谅解。
大家的探讨很有意思，就我自己而言，第一题有两种最简单的答案，lagrange与M的探讨接近第一种答案（lagrange不要骂我太苛刻呀……）
第一题的第2种答案，23年中一直没有人能做出来，是最简单的一种答案，我说“包括某些自负的教授在内，一直没有人做出正确的答案。”这句话有误，向大家道歉，应该是“没有最佳的答案”。
这次我将这些题拿来给大家其实就是想看看有没有更好的答案，或新的方法。
如果某中简单而巧妙的方法一直没有人能做出来，我将不公布最佳答案，直到有人能做出来，但愿不要让我等得太久55555
这几天因为家母要做手术，一直没上网，希望大家谅解。
大家的探讨很有意思，就我自己而言，第一题有两种最简单的答案，lagrange与M的探讨接近第一种答案（lagrange不要骂我太苛刻呀……）
第一题的第2种答案，23年中一直没有人能做出来，是最简单的一种答案，我说“包括某些自负的教授在内，一直没有人做出正确的答案。”这句话有误，向大家道歉，应该是“没有最佳的答案”。
这次我将这些题拿来给大家其实就是想看看有没有更好的答案，或新的方法。
如果某中简单而巧妙的方法一直没有人能做出来，我将不公布最佳答案，直到有人能做出来，但愿不要让我等得太久55555
王鹏越
因为是我出的题，呵呵，我当然是在知道结果的情况下出的题面，楚楚不要生气呀，呵呵，数学的事情一般都是男人的事情呀，Lagrange一定是男生吧^_^
第2题，目前我自己也只有一种答案，强烈期待新的答案。
因为是我出的题，呵呵，我当然是在知道结果的情况下出的题面，楚楚不要生气呀，呵呵，数学的事情一般都是男人的事情呀，Lagrange一定是男生吧^_^
第2题，目前我自己也只有一种答案，强烈期待新的答案。
[匿名] M
祝博主妈妈早日康复！
哎，因为发现了13，规律已经足够简单了，只是那个取模后来还有判断凑一个9出来的表示干扰了主题。今天再考虑一下，把每个数字都减去1，这样就不用凑那个9了，只要最后再加上1就行了。循环变成了3，7，2，6，1，5，0，4，8，对于这个循环，相应的质数我找到了，是31，这下子通项公式进一步简化了：
f(n) = 31 * (n + 2) mod 9 + 1
祝博主妈妈早日康复！
哎，因为发现了13，规律已经足够简单了，只是那个取模后来还有判断凑一个9出来的表示干扰了主题。今天再考虑一下，把每个数字都减去1，这样就不用凑那个9了，只要最后再加上1就行了。循环变成了3，7，2，6，1，5，0，4，8，对于这个循环，相应的质数我找到了，是31，这下子通项公式进一步简化了：
f(n) = 31 * (n + 2) mod 9 + 1
[匿名] Lagrange
Wu， 祝令堂早日康复！
嗯，果然这样更简单了，呵呵。
若继续寻找更简单的公式，还要进一步观察，
4，8, 3, 7, 2, 6, 1, 5, 9, 4, 8, 3, 7, 2, 6, 1..
看起来是两个9,8,7,6,5,4,3,2,1这样的循环错开编织在一起的。
照这个基本思路，通项公式可如下表达：
若n为奇数， F(n) = 9 - ((n+1)/2 + 13) mod 9
若n为偶数， F(n) = 9 - (n/2 + 9) mod 9
应该还可以化简得出更加清晰明白的公式来。
慢着，用减法的话，M开拓的东西我找到另外一种表达，看起来比M的再清晰一点点，呵呵：
F(n) = 9 - 5n mod 9
哈哈，奥妙无穷呀。
Wu， 祝令堂早日康复！
嗯，果然这样更简单了，呵呵。
若继续寻找更简单的公式，还要进一步观察，
4，8, 3, 7, 2, 6, 1, 5, 9, 4, 8, 3, 7, 2, 6, 1..
看起来是两个9,8,7,6,5,4,3,2,1这样的循环错开编织在一起的。
照这个基本思路，通项公式可如下表达：
若n为奇数， F(n) = 9 - ((n+1)/2 + 13) mod 9
若n为偶数， F(n) = 9 - (n/2 + 9) mod 9
应该还可以化简得出更加清晰明白的公式来。
慢着，用减法的话，M开拓的东西我找到另外一种表达，看起来比M的再清晰一点点，呵呵：
F(n) = 9 - 5n mod 9
哈哈，奥妙无穷呀。
王鹏越
恭喜Lagrange,这个答案是最简单的两个之一.
一开始我还以为Lagrange和M是一个人,呵呵,
问题的关键是Lagrange想到了用9减去5n mod 9,别小看这个,大多数人都只在An mod 9上做文章.
M说的3，7，2，6，1，5，0，4，8，如写成0，4，8，3，7，2，6，1，5，0，4，8，就不是我的这道题了，这样就可以写做F(n) = 4n mod 9
提醒一下，第一题的另外的解法是没有取模的，完全是另外的一套思路，呵呵，当你真的可以想出来的时候，你一定会欢呼的！
如果一直没有人给出答案，我将永远不公布！呵呵呵^_^
恭喜Lagrange,这个答案是最简单的两个之一.
一开始我还以为Lagrange和M是一个人,呵呵,
问题的关键是Lagrange想到了用9减去5n mod 9,别小看这个,大多数人都只在An mod 9上做文章.
M说的3，7，2，6，1，5，0，4，8，如写成0，4，8，3，7，2，6，1，5，0，4，8，就不是我的这道题了，这样就可以写做F(n) = 4n mod 9
提醒一下，第一题的另外的解法是没有取模的，完全是另外的一套思路，呵呵，当你真的可以想出来的时候，你一定会欢呼的！
如果一直没有人给出答案，我将永远不公布！呵呵呵^_^
[匿名] M
哎，我悔的肠子都青了， :(。
不过我那个公式也是对的，只是我倾心于质数，没有看到就在眼前的进一步简化可能，比如把31中的9的倍数都去掉，就得到：
f(n) = 4(n+2) mod 9 + 1
不过字面上看来，还是比 9 - 5n mod 9 略逊一筹。
期待其他思路给出手筋。。。
哎，我悔的肠子都青了， :(。
不过我那个公式也是对的，只是我倾心于质数，没有看到就在眼前的进一步简化可能，比如把31中的9的倍数都去掉，就得到：
f(n) = 4(n+2) mod 9 + 1
不过字面上看来，还是比 9 - 5n mod 9 略逊一筹。
期待其他思路给出手筋。。。
[匿名] 明天
还在解难题呀?阿魔
还在解难题呀?阿魔
[匿名] 楚楚
Lagrange和 M，你们能公开一下性别吗？
阿魔说，数学是男人的事，我多么希望你们中有一个是女人啊！
擅长做数学题的女生不是没有，是她们正致力于深奥的科学研究，没空上网而已。
对吗？阿魔^_^
Lagrange和 M，你们能公开一下性别吗？
阿魔说，数学是男人的事，我多么希望你们中有一个是女人啊！
擅长做数学题的女生不是没有，是她们正致力于深奥的科学研究，没空上网而已。
对吗？阿魔^_^
[匿名] 阿魔
我估计Lagrange和M都是男生,并且Lagrange和M可能都是程序员,我的首页上有我的Gtalk和MSN,希望Lagrange和M和我联络,呵呵(有奖品)
我估计Lagrange和M都是男生,并且Lagrange和M可能都是程序员,我的首页上有我的Gtalk和MSN,希望Lagrange和M和我联络,呵呵(有奖品)
[匿名] 大山
呵呵，阿魔越来越自恋了。哈哈。
呵呵，阿魔越来越自恋了。哈哈。
[匿名] 嘻嘻
天啦，原来有奖品，怎么不早说！
嘻嘻，早说我也不做……@！@
天啦，原来有奖品，怎么不早说！
嘻嘻，早说我也不做……@！@
[匿名] 阿魔
大山你好犀利呀,不过"自恋"似乎现代人的"通病"或"美德",我看,上blog的大多也如此吧,呵呵
嘻嘻说"原来有奖品，怎么不早说！"呵呵,以后有奖品的都不早说,哈哈哈,昨天楚楚说很喜欢你,哈哈,你要小心了^_^
大山你好犀利呀,不过"自恋"似乎现代人的"通病"或"美德",我看,上blog的大多也如此吧,呵呵
嘻嘻说"原来有奖品，怎么不早说！"呵呵,以后有奖品的都不早说,哈哈哈,昨天楚楚说很喜欢你,哈哈,你要小心了^_^
[匿名] 阿魔
M做的f(n) = 4(n+2) mod 9 + 1 也是很不错的,希望大家做另外的不用取余数的作法,当然不能用取整函数,呵呵
另外,第2题大家做的如何了,呵呵^_^,
可以把答案作成图形发给我,上面我加了我的mail,
为了防止小广告,我用的是图形,呵呵、呵呵
M做的f(n) = 4(n+2) mod 9 + 1 也是很不错的,希望大家做另外的不用取余数的作法,当然不能用取整函数,呵呵
另外,第2题大家做的如何了,呵呵^_^,
可以把答案作成图形发给我,上面我加了我的mail,
为了防止小广告,我用的是图形,呵呵、呵呵
[匿名] M
楚楚：抱歉！
找到一种投机取巧的通项公式：
f(n) = 53747351/111111111 的小数点后第n位数字！
楚楚：抱歉！
找到一种投机取巧的通项公式：
f(n) = 53747351/111111111 的小数点后第n位数字！
刘咏阁（老墨）
别难为我好吗,晕！一看数字就晕！
别难为我好吗,晕！一看数字就晕！
[匿名] Lagrange
4n 的10进制表示的各位数字相加，也能得到这个魔术数列，还在验证/证明中。。。
4n 的10进制表示的各位数字相加，也能得到这个魔术数列，还在验证/证明中。。。
[匿名] Lagrange
如果加出来是2位数字，就继续加
4n 的序列：
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 。。。
各位数字相加，若结果是2为数字，继续相加，所得序列：
4 8 3 7 2 6 1 5 9 4 8 3 7 。。。
需要证明出结论， 忙， 以后做， 呵呵， 估计是正确的， :)。
如果加出来是2位数字，就继续加
4n 的序列：
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 。。。
各位数字相加，若结果是2为数字，继续相加，所得序列：
4 8 3 7 2 6 1 5 9 4 8 3 7 。。。
需要证明出结论， 忙， 以后做， 呵呵， 估计是正确的， :)。
[匿名] Lagrange
呵呵， 把10进制数的全部数字加起来，结果多于1位继续重复这个动作，是把该数字对9取余数的一个变种，不同点是只要是大于0的数字，结果的范围在1~9之间，而不是取余数的0~8。
呵呵， 把10进制数的全部数字加起来，结果多于1位继续重复这个动作，是把该数字对9取余数的一个变种，不同点是只要是大于0的数字，结果的范围在1~9之间，而不是取余数的0~8。
[匿名] 阿魔
再次，恭喜Lagrange，这次的就是最简单的另外一种答案，真没想到真的有人做出来了，我太高兴了，应该干杯！^_^
再次，恭喜Lagrange，这次的就是最简单的另外一种答案，真没想到真的有人做出来了，我太高兴了，应该干杯！^_^
[匿名] Lagrange
种树有些眉目了， 手工画图好乱呀， 明天看看能不能用程序辅助画出来， 不过似乎能搞出53行来，明天仔细校验一下看看。。。
种树有些眉目了， 手工画图好乱呀， 明天看看能不能用程序辅助画出来， 不过似乎能搞出53行来，明天仔细校验一下看看。。。
[匿名] 楚楚
TO: Lagrange:
关于种树，我曾经搞出不止53行，还有更多，好象是25的三倍，经校验发现错了。
呵呵，估计你的也不会对。正确的答案应正好是53行才行。
自信心不会因此而挫伤吧？^_^
TO: Lagrange:
关于种树，我曾经搞出不止53行，还有更多，好象是25的三倍，经校验发现错了。
呵呵，估计你的也不会对。正确的答案应正好是53行才行。
自信心不会因此而挫伤吧？^_^
[匿名] Lagrange
To: 楚楚
之前我做过一个六边形的叠套图，但后来经过证明发现有些边不会严格交于一点（手工作图不精确）。
现在我的种法中有42行是毫不含糊的每行3棵，可以严格证明没有问题，：）。另外11行略有些疑问，因为它是整体上很长的3行（每行中的总棵数不止3棵），我算它是若干个3棵的行首尾串联（相互在边上不重叠）而成。
明天用程序把图画出来。
不会挫伤的， 解出来开心， 解不出来是正常， :)。
抱歉，我也是男生。
To: 楚楚
之前我做过一个六边形的叠套图，但后来经过证明发现有些边不会严格交于一点（手工作图不精确）。
现在我的种法中有42行是毫不含糊的每行3棵，可以严格证明没有问题，：）。另外11行略有些疑问，因为它是整体上很长的3行（每行中的总棵数不止3棵），我算它是若干个3棵的行首尾串联（相互在边上不重叠）而成。
明天用程序把图画出来。
不会挫伤的， 解出来开心， 解不出来是正常， :)。
抱歉，我也是男生。
[匿名] Lagrange
嗯，编了一段程序，发现手工画的图中还有一些行以前没发现呢，现在严格的3棵行共有47行， 那种首尾相接的3棵行仍然是11行。
嗯，编了一段程序，发现手工画的图中还有一些行以前没发现呢，现在严格的3棵行共有47行， 那种首尾相接的3棵行仍然是11行。
[匿名] Lagrange
程序画好了图，发给阿魔检查了。
楚楚要验证的话，可发邮件给我，我回复给你图案。信箱地址是pegasusplus在google那个免费邮箱。（防机器人轰炸就不用文本给出直接的邮箱地址啦）
程序画好了图，发给阿魔检查了。
楚楚要验证的话，可发邮件给我，我回复给你图案。信箱地址是pegasusplus在google那个免费邮箱。（防机器人轰炸就不用文本给出直接的邮箱地址啦）
[匿名] 楚楚
根据Lagrange所说，每行三棵，一共有58行了？
我做过两次，发现超出50行，就放弃了，感觉应该正好是50行才对。
不会电脑作图，用手绘，有时绘着绘着就乱了，只好重来。太痛苦了。
阿魔，暂时别公布答案，这几天太忙，等放假我还想认真做一做。等我，其他博友几天。
Lagrange：暂时别给我发了，我想自己做试试，担心看了你的图受影响。呵呵
根据Lagrange所说，每行三棵，一共有58行了？
我做过两次，发现超出50行，就放弃了，感觉应该正好是50行才对。
不会电脑作图，用手绘，有时绘着绘着就乱了，只好重来。太痛苦了。
阿魔，暂时别公布答案，这几天太忙，等放假我还想认真做一做。等我，其他博友几天。
Lagrange：暂时别给我发了，我想自己做试试，担心看了你的图受影响。呵呵
[匿名] Lagrange
多了也不行呀， 还要继续努力， 剔除滥竽充数的行， :)。
若会一点点编程，用微软那个免费下载的那几种开发环境：Visual C# 2005 Express， 或者Visual Basic 2005 Express，还有C++的一个版本，有了思路只要编一点儿程序就可以画出精确的图了。比手工制图的好处是出了错好改，不用作废纸张重新画。
多了也不行呀， 还要继续努力， 剔除滥竽充数的行， :)。
若会一点点编程，用微软那个免费下载的那几种开发环境：Visual C# 2005 Express， 或者Visual Basic 2005 Express，还有C++的一个版本，有了思路只要编一点儿程序就可以画出精确的图了。比手工制图的好处是出了错好改，不用作废纸张重新画。
[匿名] Lagrange
稍调整了一下我的种树方法，现在严格的3棵行已经可以达到52行，还有一种可以到51行。
阿魔是不是一定要求50行，多了不行呀？
稍调整了一下我的种树方法，现在严格的3棵行已经可以达到52行，还有一种可以到51行。
阿魔是不是一定要求50行，多了不行呀？
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貌似第一道题就是用正弦函数做~~随便一说，哈~~具体没做，貌似手生，不会…………哈哈